Область допустимых значений - ОДЗ. (2019). ОДЗ. Область Допустимых Значений Когда надо писать одз

В уравнениях и неравенствах вида , , , , пересечение областей определения функций и называют областью допустимых значений (ОДЗ) переменной, а также ОДЗ уравнения или неравенства соответственно.

При решении уравнений (неравенств) с одной переменной, когда встает вопрос – находить ли ОДЗ, часто можно услышать категоричное «да» и не менее категоричное «нет». «Сначала нужно найти ОДЗ, а затем приступать к решению уравнения (неравенства)», - утверждают одни. «Незачем тратить время на ОДЗ, по ходу решения будем переходить к равносильному уравнению (неравенству) или к равносильной системе уравнений и неравенств или только неравенств. В конце концов, если это уравнение, то можно сделать проверку», - утверждают другие.

Так находить ли ОДЗ?

Конечно, однозначного ответа на этот вопрос не существует. Нахождение ОДЗ уравнения или неравенства не является обязательным элементом решения. В каждом конкретном примере этот вопрос решается индивидуально.

В одних случаях нахождение ОДЗ упрощает решение уравнения или неравенства (примеры 1-5), а в ряде случаев даже является необходимым этапом решения (примеры 1, 2, 4).

В других случаях (примеры 6, 7) от предварительного нахождения ОДЗ стоит отказаться, так как оно делает решение более громоздким.

Пример 1. Решить уравнение .

Возведение обеих частей уравнения в квадрат не упростит, а усложнит его и не позволит избавиться от радикалов. Нужно искать другой способ решения.

Найдем ОДЗ уравнения:

Таким образом, ОДЗ содержит только одно значение , а, следовательно, корнем исходного уравнения может служить только число 4. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что – единственный корень уравнения.

Пример 2. Решить уравнение .

Наличие в уравнении радикалов различных степеней – второй, третьей и шестой – делает решение сложным. Поэтому, прежде всего, найдем ОДЗ уравнения:

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что является корнем исходного уравнения.

Пример 3. Решить неравенство .

Конечно, можно решать это неравенство, рассматривая случаи: , , но нахождение ОДЗ сразу же упрощает это решение.

ОДЗ:

Подставляя это единственное значение в исходное неравенство, получим ложное числовое неравенство . Следовательно, исходное неравенство не имеет решения.

Ответ: нет решения.

Пример 4. Решить уравнение .

Запишем уравнение в виде .

Уравнение вида равносильно смешанной системе т.е.

Конечно, здесь нахождение ОДЗ излишне.

В нашем случае получим равносильную систему т.е.

Уравнение равносильно совокупности Уравнение рациональных корней не имеет, но оно может иметь иррациональные корни, нахождение которых вызовет у учащихся затруднения. Поэтому поищем другой способ решения.

Вернемся к первоначальному уравнению, запишем его в виде .

Найдем ОДЗ: .

При правая часть уравнения , а левая часть . Следовательно, исходное уравнение в области допустимых значений переменной х равносильно системе уравнений решением которой является только одно значение .

Таким образом, в данном примере именно нахождение ОДЗ позволило решить исходное уравнение.

Пример 5. Решить уравнение .

Так как , а , то при решении исходного уравнения нужно будет избавляться от модулей (раскрывать их).

Поэтому, сначала имеет смысл найти ОДЗ уравнения:

Итак, ОДЗ:

Упростим исходное уравнение, воспользовавшись свойствами логарифмов.

Так как в области допустимых значений переменной х и , то , а , тогда получим равносильное уравнение:

Учитывая, что в ОДЗ , перейдем к равносильному уравнению и решим его, разделив обе части на 3.

Ответ: − 4,75.

Замечание.

Если не находить ОДЗ, то при решении уравнения необходимо было бы рассмотреть четыре случая: , , , . На каждом из этих промежутков знакопостоянства выражений, стоящих под знаком модуля, нужно было бы раскрыть модули и решить полученное уравнение. Кроме того еще и выполнить проверку. Мы видим, что нахождение ОДЗ исходного уравнения значительно упрощает его решение.

Пример 7. Решить неравенство .

Так как переменная х входит и в основание логарифма, то при решении этого неравенства необходимо будет рассмотреть два случая: и . Поэтому отдельно находить ОДЗ нецелесообразно.

Итак, представим исходное неравенство в виде и оно будет равносильно совокупности двух систем:

Ответ: .

А как искать это самое ОДЗ? Внимательно осматриваем пример и ищем опасные места. Места, в которых возможны запретные действия. Таких запретных действий в математике очень мало.

Больше уроков на сайте

ОДЗ (Область Допустимых Значений)

Областью допустимых значений уравнения называется множество значений х, при котором правая и левая части уравнения имеют смысл .

Это те значения х, которые могут быть в принципе. Скажем, в уравнении = 1 мы не знаем пока, чему равен х. Мы пока уравнение не решили. Но уже твёрдо знаем, что х не может равняться нулю ни при каких обстоятельствах! На ноль делить нельзя! На любое другое число – целое, дробное, отрицательное – пожалуйста, а на ноль – ни в коем разе! Иначе исходное выражение становится бессмыслицей. Это означает, что ОДЗ в этом примере: х – любое, кроме нуля. Уловили?

Как находить, как записывать, как с этим работать?

Очень просто. Рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х, которые разрешены для исходного примера . Или можно наоборот: найти запретные значения х, при которых исходный пример теряет всякий смысл, и исключить их.

Но и их не все помнят. Я сейчас их напомню, и советую их запомнить.

Выражение, стоящее под знаком корня четной кратности, должно быть больше или равно нуля.

Выражение, стоящее в знаменателе дроби, не может быть равно нулю.

Есть две функции, которые содержат «скрытую» дробь:

Есть ещё запреты в логарифмических уравнениях – это мы рассмотрим в соответствующих темах. Всё. Когда мы нашли опасные места, вычисляем х, которые приведут к бессмыслице.

Чтобы найти область допустимых значений выражения, нужно исследовать, присутствуют ли в уравнении выражения , которые я перечислила выше. И по мере обнаружения выражений, записывать задаваемые ими ограничения, двигаясь «снаружи» «внутрь». И исключаем их.

Важно! Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных иксов. Это сложно выглядит в разъяснениях, но практически – очень легко.

Я специально на предыдущих уроках ничего не говорила про ОДЗ. Чтобы вас не спугнуть… В рассмотренных примерах ОДЗ никак не сказалось на ответах. Ведь в наших перечисленных запретах показательной функции нет. Такое бывает. Но в заданиях по ВНЕШНЕМУ НЕЗАВИСИМОМУ ТЕСТИРОВАНИЮ ОДЗ, как правило, влияет на ответ! Ее писать надо не для проверяющих, для себя. не пишут, если очевидно, что х – любое число. Как, например, в линейных уравнениях.

В массе примеров нахождение ОДЗ позволяет получить ответ без громоздких выкладок. А то и вовсе устно. В некоторых уравнениях — представляет собой пустое множество. А значит, исходное уравнение не имеет решений. Или в там находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.

Что не нравится? Правильно – дробь. Мне она тоже не нравится, поэтому предлагаю от неё избавиться. Это можно сделать по разному. Я для того, чтобы избавиться от знаменателя, умножу обе части уравнения на общий знаменатель х-4.

Любое выражение с переменной имеет свою область допустимых значений, где оно существует. ОДЗ необходимо всегда учитывать при решении. При его отсутствии можно получить неверный результат.

В данной статье будет показано, как правильно находить ОДЗ, использовать на примерах. Также будет рассмотрена важность указания ОДЗ при решении.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Допустимые и недопустимые значения переменных

Данное определение связано с допустимыми значениями переменной. При введении определения посмотрим, к какому результату приведет.

Начиная с 7 класса, мы начинаем работать с числами и числовыми выражениями. Начальные определения с переменными переходят к значению выражений с выбранными переменными.

Когда имеются выражения с выбранными переменными, то некоторые из них могут не удовлетворять. Например, выражение вида 1: а, если а = 0 , тогда оно не имеет смысла, так как делить на ноль нельзя. То есть выражение должно иметь такие значения, которые подойдут в любом случае и дадут ответ. Иначе говоря, имеют смысл с имеющимися переменными.

Определение 1

Если имеется выражение с переменными, то оно имеет смысл только тогда, когда при их подстановке значение может быть вычислено.

Определение 2

Если имеется выражение с переменными, то оно не имеет смысл, когда при их подстановке значение не может быть вычислено.

То есть отсюда следует полное определение

Определение 3

Существующими допустимыми переменными называют такие значения, при которых выражение имеет смысл. А если смысла не имеет, значит они считаются недопустимыми.

Для уточнения вышесказанного: если переменных более одной, тогда может быть и пара подходящих значений.

Пример 1

Для примера рассмотрим выражение вида 1 x - y + z , где имеются три переменные. Иначе можно записать, как x = 0 , y = 1 , z = 2 , другая же запись имеет вид (0 , 1 , 2) . Данные значения называют допустимыми, значит, можно найти значение выражения. Получим, что 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1 . Отсюда видим, что (1 , 1 , 2) недопустимы. Подстановка дает в результате деление на ноль, то есть 1 1 - 2 + 1 = 1 0 .

Что такое ОДЗ?

Область допустимых значений – важный элемент при вычислении алгебраических выражений. Поэтому стоит обратить на это внимание при расчетах.

Определение 4

Область ОДЗ – это множество значений, допустимых для данного выражения.

Рассмотрим на примере выражения.

Пример 2

Если имеем выражение вида 5 z - 3 , тогда ОДЗ имеет вид (− ∞ , 3) ∪ (3 , + ∞) . Эта область допустимых значений, удовлетворяющая переменной z для заданного выражения.

Если имеется выражения вида z x - y , тогда видно, что x ≠ y , z принимает любое значение. Это и называют ОДЗ выражения. Его необходимо учитывать, чтобы не получить при подстановке деление на ноль.

Область допустимых значений и область определения имеет один и тот же смысл. Только второй из них используется для выражений, а первый – для уравнений или неравенств. При помощи ОДЗ выражение или неравенство имеет смысл. Область определения функции совпадает с областью допустимых значений переменной х к выражению f (x) .

Как найти ОДЗ? Примеры, решения

Найти ОДЗ означает найти все допустимые значения, подходящие для заданной функции или неравенства. При невыполнении этих условий можно получить неверный результат. Для нахождения ОДЗ зачастую необходимо пройти через преобразования в заданном выражении.

Существуют выражения, где их вычисление невозможно:

если имеется деление на ноль;
извлечение корня из отрицательного числа;
наличие отрицательного целого показателя – только для положительных чисел;
вычисление логарифма отрицательного числа;
область определения тангенса π 2 + π · k , k ∈ Z и котангенса π · k , k ∈ Z ;
нахождение значения арксинуса и арккосинуса числа при значении, не принадлежащем [ - 1 ; 1 ] .

Все это говорит о том, как важно наличие ОДЗ.

Пример 3

Найти ОДЗ выражения x 3 + 2 · x · y − 4 .

Решение

В куб можно возводить любое число. Данное выражение не имеет дроби, поэтому значения x и у могут быть любыми. То есть ОДЗ – это любое число.

Ответ: x и y – любые значения.

Пример 4

Найти ОДЗ выражения 1 3 - x + 1 0 .

Решение

Видно, что имеется одна дробь, где в знаменателе ноль. Это говорит о том, что при любом значении х мы получим деление на ноль. Значит, можно сделать вывод о том, что это выражение считается неопределенным, то есть не имеет ОДЗ.

Ответ: ∅ .

Пример 5

Найти ОДЗ заданного выражения x + 2 · y + 3 - 5 · x .

Решение

Наличие квадратного корня говорит о том, что это выражение обязательно должно быть больше или равно нулю. При отрицательном значении оно не имеет смысла. Значит, необходимо записать неравенство вида x + 2 · y + 3 ≥ 0 . То есть это и есть искомая область допустимых значений.

Ответ: множество x и y , где x + 2 · y + 3 ≥ 0 .

Пример 6

Определить ОДЗ выражения вида 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Решение

По условию имеем дробь, поэтому ее знаменатель не должен равняться нулю. Получаем, что x + 1 - 1 ≠ 0 . Подкоренное выражение всегда имеет смысл, когда больше или равно нулю, то есть x + 1 ≥ 0 . Так как имеет логарифм, то его выражение должно быть строго положительным, то есть x 2 + 3 > 0 . Основание логарифма также должно иметь положительное значение и отличное от 1 , тогда добавляем еще условия x + 8 > 0 и x + 8 ≠ 1 . Отсюда следует, что искомое ОДЗ примет вид:

x + 1 - 1 ≠ 0 , x + 1 ≥ 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1

Иначе говоря, называют системой неравенств с одной переменной. Решение приведет к такой записи ОДЗ [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞) .

Ответ: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?

При тождественных преобразованиях важно находить ОДЗ. Бывают случаи, когда существование ОДЗ не имеет место. Чтобы понять, имеет ли решение заданное выражение, нужно сравнить ОДЗ переменных исходного выражения и ОДЗ полученного.

Тождественные преобразования:

могут не влиять на ОДЗ;
могут привести в расширению или дополнению ОДЗ;
могут сузить ОДЗ.

Рассмотрим на примере.

Пример 7

Если имеем выражение вида x 2 + x + 3 · x , тогда его ОДЗ определено на всей области определения. Даже при приведении подобных слагаемых и упрощении выражения ОДЗ не меняется.

Пример 8

Если взять пример выражения x + 3 x − 3 x , то дела обстоят иначе. У нас имеется дробное выражение. А мы знаем, что деление на ноль недопустимо. Тогда ОДЗ имеет вид (− ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) . Видно, что ноль не является решением, поэтому добавляем его с круглой скобкой.

Рассмотрим пример с наличием подкоренного выражения.

Пример 9

Если имеется x - 1 · x - 3 , тогда следует обратить внимание на ОДЗ, так как его необходимо записать в виде неравенства (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 . Возможно решение методом интервалов, тогда получаем, что ОДЗ примет вид (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . После преобразования x - 1 · x - 3 и применения свойства корней имеем, что ОДЗ можно дополнить и записать все в виде системы неравенства вида x - 1 ≥ 0 , x - 3 ≥ 0 . При ее решении получаем, что [ 3 , + ∞) . Значит, ОДЗ полностью записывается так: (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Нужно избегать преобразований, которые сужают ОДЗ.

Пример 10

Рассмотрим пример выражения x - 1 · x - 3 , когда х = - 1 . При подстановке получим, что - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Если это выражение преобразовать и привести к виду x - 1 · x - 3 , тогда при вычислении получим, что 2 - 1 · 2 - 3 выражение смысла не имеет, так как подкоренное выражение не должно быть отрицательным.

Следует придерживаться тождественных преобразований, которые ОДЗ не изменят.

Если имеются примеры, которые его расширяют, тогда его нужно добавлять в ОДЗ.

Пример 11

Рассмотрим на примере дроби вида x x 3 + x . Если сократить на x , тогда получаем, что 1 x 2 + 1 . Тогда ОДЗ расширяется и становится (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Причем при вычислении уже работаем со второй упрощенной дробью.

При наличии логарифмов дело обстоит немного иначе.

Пример 12

Если имеется выражение вида ln x + ln (x + 3) , его заменяют на ln (x · (x + 3)) , опираясь на свойство логарифма. Отсюда видно, что ОДЗ с (0 , + ∞) до (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Поэтому для определения ОДЗ ln (x · (x + 3)) необходимо производить вычисления на ОДЗ, то есть (0 , + ∞) множества.

При решении всегда необходимо обращать внимание на структуру и вид данного по условию выражения. При правильном нахождении области определения результат будет положительным.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

ОДЗ в логарифмических уравнениях.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

В какой момент мы попали в засаду элементарного примера? Как раз в момент ликвидации логарифмов. Логарифмы исчезли напрочь, и вместе с ними исчезли соответствующие ограничения на ответ. Бесследно. В математике это называется расширение ОДЗ.

И что теперь, отказаться от ликвидации логарифмов!? Тогда мы вообще ничего решить не сможем... Нет, отказываться мы не будем. Мы пойдём другим путём! В математике эта проблема решается так.

Перед решением любого логарифмического уравнения записываем ОДЗ. После этого с уравнением можно делать всё, что угодно. В смысле - решать...) Получив ответ, надо просто выяснить, входят ли корни в ОДЗ. Те что входят - это полноценные, правильные решения. Те что не входят - безжалостно выкидываем. Эти корни образовались в процессе решения самостоятельно, они лишние. Их так иногда и называют: посторонние корни.

Как записывать ОДЗ?

Очень просто. Внимательно осматриваем исходный пример. Не решаем, не преобразовываем, именно осматриваем , и именно исходный! Это важно! Да и несложно, к тому же. Ищем в примере опасные места. Это деление на выражение с иксом, извлечение корня чётной степени из выражения с иксом и логарифмы с иксами.

Мы не знаем, чему равен х, верно? Мы ещё пример не решали. Но твёрдо уверены, что те иксы, которые дадут деление на ноль, извлечение квадратного корня из отрицательного числа и нарушение ограничений на логарифмы заведомо в ответ не годятся. Эти иксы превращают исходный пример в бессмыслицу. Посему такие значения х недопустимы. Все остальные значения х и будут составлять ОДЗ. Область допустимых значений. Вот и всё.

На практике это всё куда проще делается. Читаем и вникаем. Берём тот же пример:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Осматриваем пример, выясняем что деления - нет, корней - нет, но в уравнении имеются выражения с иксом внутри логарифма. Вспоминаем, что подлогарифменное выражение должно быть всегда больше нуля. Вот так прямо и пишем:

Обратите внимание! Мы ничего не решали! Мы просто записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Для каждого логарифма в примере. Знак системы (фигурная скобка) показывает, что эти условия должны выполняться одновременно.

Вот и всё. ОДЗ записано. Не так уж и сложно, правда?

Что делать с ОДЗ?

Итак, ОДЗ записали. Половина дела - сделана). Что дальше с этой записью делать? Вот тут у нас возникают варианты.

Вариант первый, универсальный:

Решаем систему неравенств, которую мы записали для ОДЗ.

Мы решаем только ОДЗ! Сам пример пока не трогаем! Получаем значения х, которые допустимы для данного уравнения. Тот, кто умеет решать системы неравенств получит для нашего ОДЗ такой ответ:

Т.е. в качестве ответа нам подойдут только такие иксы, которые больше корня из трёх!

Всё, соломки подстелили. Теперь можно браться и за сам пример. Смело убирать логарифмы и всякие другие преобразования делать - исходные ограничения мы записали и сохранили.

Решив само уравнение и получив ответы х 1 = 3; х 2 = -1, легко увидеть, что в качестве ответа годится только х 1 = 3. Корень х 2 = -1 меньше, чем корень из трёх, он - посторонний. Его мы просто отбрасываем. Вот и всё.

Хорошо тем, кто умеет решать системки неравенств, правда?)

А если с решением систем неравенств, того... не очень? Как быть?! Как быть, как быть... Научиться! Но если уж совсем прижало... Ладно, только для вас! Способ-лайт.)

Вариант второй, только для нехитрых уравнений.

Итак, мы записали ОДЗ в виде системы неравенств. Эту систему можно и не решать. Оставить как есть, вот так:

А вот теперь, поочерёдно подставляем эти значения в систему неравенств ОДЗ.

Для х 1 = 3:

Просто считаем, получаем:

Всё отлично. Оба неравенства - верные. Значит, тройка проходит по ОДЗ и идёт прямиком в ответ.

Подставляем второй корень х 2 = -1:

Считаем и получаем:

Это категорически неверно! Минус два никак не больше нуля! Значит, этот корень не входит в ОДЗ. Он просто выбрасывается и ни в какой ответ не идёт. Всё. Замечу, что корень выбрасывается, если он не подходит хотя бы в одно неравенство системы.

Вот такой способ-лайт. Подчеркну, этот способ прост и нагляден. Решение неравенств заменяется простым счётом. Очень хорош в простых уравнениях. И не годится в логарифмических неравенствах. Догадались, почему?

Да потому, что в ответе у неравенства, обычно, не один-два корня, а интервал. Т.е. бесконечный набор чисел. А в способе-лайт в ОДЗ надо подставлять все значения... Бесконечность. Что представляется несколько затруднительным, да...

Здесь мы разобрали всего один простой пример. Но суть такой работы с ОДЗ неизменна для любых логарифмических уравнений.

Ну вот, с ОДЗ - главной ловушкой в логарифмических уравнениях - мы разобрались. Самые внимательные могут спросить, почему в предыдущем уроке мы прекрасно обошлись без ОДЗ? Да просто там ОДЗ никак не сказалось на ответе! Можете проверить самостоятельно. Такое бывает. Решали, про ОДЗ - не вспомнили (или вообще не знали...), а получили-таки правильный ответ. Значит - повезло. Я же говорю - лотерея, если без ОДЗ решать...)

А теперь - внимание!

Вникайте. И запоминайте одну простую мысль. Эта мысль спасёт вас от путаницы в решении и каши в голове:

Решение любого логарифмического уравнения состоит из двух равноценных частей. Одна часть - это решение самого уравнения. Вторая - решение условий ОДЗ. Эти части решаются независимо друг от друга. Стыковка результатов происходит на финишном этапе решения.

Ключевое слово здесь - "независимо" . Решая ОДЗ, можно не вспоминать про уравнение. И наоборот. Главное - в самом конце не забыть результаты сопоставить, лишнее выбросить, да верный ответ записать.)

Подведём итоги в практических советах.

Практические советы:

1. Прежде всего - записываем условия ОДЗ по исходному примеру.

2. Выбираем, с чего начинать решение. Можно начинать с уравнения, можно - с условий ОДЗ. Выбираем то, что решается полегче.

3. Решив уравнение и ОДЗ, сводим результаты в общий ответ.

4. Если пример позволяет, ОДЗ можно не решать. Достаточно подставить результаты уравнения в записанные условия ОДЗ и проверить, какие решения проходят. Их и взять за ответы.

Ну и, как водится, порешаем. Примеров здесь всего чуть-чуть, но они охватывают самые популярные фишки с ОДЗ. Некоторые фишки (если их увидеть) позволяют сократить решение в десятки раз! Я не шучу.

Найти корень или сумму корней (если их несколько) уравнений:

log 2 (х 2 +5х-6) = log 2 (4х)

ln(х 3 -7х+2sinx+3) = ln(х 3 -7х+2sinx-4)

Ответы (в беспорядке): 2; решений нет; 1; -5.

Ну, как оно? Замечу, что страшный внешний вид некоторых примеров - обманчив. Решаются они легко.) Если у вас всё получилось быстро и правильно - можно заняться заданиями посложнее.

Если не получилось, или решалось долго - посетите раздел 555. Там эти примеры разобраны детально. Даны приёмы правильного и быстрого решения. Иногда в логарифмических уравнениях половину, а то и больше, вообще решать не надо. Ответ всё равно правильный будет. Да-да! В разделе 555 на этом особый акцент сделан.

Теперь можно решать несложные логарифмические уравнения вполне надёжно. Не лотерея, да...)

А уж как сводить сложные уравнения к простейшим, как использовать на всю катушку свойства логарифмов и замену переменной, как не попасть в засаду под названием "Сужение ОДЗ" - всё это будет в следующих уроках.